B-Splines

In der 3d-Computergrafik hat sich neben der Bézier-Kurven die Nurbs-Kurve als Standard etabliert. Viele 3d-Programme bieten sowohl Bézier-, als auch Nurbs-Kurven. Dieses Kapitel behandelt uniforme und nichtuniforme B-Splines, die die Basis für die Nurbs-Kurven darstellen.

Geschichtliches

Spline: (engl.) übersetzt: das Kurvenlineal, ein längliches, dünnes Stück Holz oder Metall;
Geschichtlich gesehen gingen die B-Splines (Basis-Splines) den Bézier-Kurven voraus. Entwickelt wurden die B-Splines noch vor der Computermodellierung im Schiffsbau, wo die Designer lebensgroße Kurven zeichnen mussten. Für Zeichnungen im kleineren Maßstab verwendeten die Konstrukteure vorgefertigte Kurvenlineale. Für maßstäbliche Pläne war diese Methode jedoch ungeeignet. Die Zeichner verwendeten dafür lange, dünne Metallstreifen. Diese Streifen, auch Splines genannt, wurden in die gewünschte Form geschoben. Mit Bleigewichten, so genannte Knots, wurde die Form der Streifen fixiert. Die Fixierung bzw. Formgebung erfolgt durch "Gewichte", daher auch der Name "Gewichtsfunktionen".

Vergleich B-Splines / Bézier-Kurven
Die entscheidenden Vor- bzw. Nachteile von B-Splines gegenüber Bézier-Splines:

Die Art von B-Splines hängt von dem verwendeten Knotenvektor ab. Der Knotenvektor ergibt sich aus den Knotenintervallen bzw. Knotenwerten. B-Splines unterscheiden sich dadurch, dass die Knotenintervalle der einzelnen Knotenwerte entweder gleich groß sind oder variieren:

• uniforme (periodische) B-Splines
• offene uniforme B-Splines
• nicht-uniforme B-Splines

Da in der Computergrafik in der Regel kubische Nurbs-Kurven eingsetzt werden, beschränken sich die weiteren Erklärungen auf kubische B-Splines.
Ein B-Spline besteht generell aus Teilen von Polynomen, die zu einer gesamten Kurve zusammengestellt werden. Die Anzahl von Kurvenabschnitten (Spans) ist beliebig. Folglich können auch beliebig viele Kurvenpunkte eingefügt werden. Bei einer kubischen B-Spline ist jeder Kurvenabschnitt durch vier Basisfunktionen und vier Kontrollpunkte definiert. die Kontrollpunkte der B-Splines haben einen sogenannten Knotenwert (u-Parameter). Diese u-Parametrisierung erstreckt sich vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt der Kurve. Jeder Kurvenabschnitt besitzt am Anfang und am Ende einen Knotenwert. Der Verbindungspunkt beim Wert von u zwischen den Segmenten wird als Knotenwert bezeichnet.

Bei uniformen B-Splines ist der Abstand zwischen zwei Knotenwerten immer konstant. Die Gewichtsfunktionen einer uniformen B-Spline sind periodisch und folglich einfacher zu berechnen. Solche B-Splines werden als uniforme bzw. periodische B-Splines bezeichnet.

Die Abbildung zeigt eine uniforme B-Spline-Kurve dritten Grades, die durch die Position von sechs Kontrollpunkten definiert ist. Jeder Kurvenabschnitt (Q) ist durch vier Kontrollpunkte beeinflusst. Da jeder Kurvenabschnitt durch vier Kontrollpunkte definiert ist, wird die Kurve erst ab dem Parameterwert u=3 bis u=6 gezeichnet. Bei uniformen Knotenwerten sind die Basisfunktionen für jedes parametrische Intervall die selben. Bei der abgebildeten Kurve liegen drei Kurvenabschnitte vor, die durch 6 Kontrollpunkte und sechs Basisfunktionen definiert werden. Q3 = ist definiert durch P0, P1, P2, P3 Q4 = ist definiert durch P1, P2, P3, P4 Q5 = ist definiert durch P2, P3, P4, P5 Die Knotenwerte lauten u= 3,4,5,6, das Intervall zwischen jedem Knotenwert beträgt 1. Jeder Kurvenabschnitt wird durch einen sogenannten Knotenvektor bestimmt. Der Knotenvektor für diese Kurve lautet: [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]

Die Abbildung zeigt die Auswirkungen der Kurve druch eine Veränderung der Position des Kontrollpunktes P4. Der Kurvenabschnitt Q5 wird stark, der Kurvenabschnitt Q4 sehr gering und Q3 wird nicht beeinflusst. Generell beeinfußt ein Kontrollpunkt bei kubischen B-Splines max. Vier Kurvenabschnitt.

Werden zusätzliche Kontrollpunkte hinzugefügt, schmiegt sich die Kurve näher an die Punkte an. Die Abbildung zeigt die Kurve mit drei Endkontrollpunkten. Durch die zusätzlichen Kurvenabschnitte wird die Kurve bin zum Endpunkt gezeichnet.

Die Abbildung zeigt die Auswirkung auf die Kurve, wenn innerhalb zusätzliche Kontrollpunkte eingeführt werden: P3 als doppelten Kontrollpunkt: Durch einen zusätzlichen Kontrollpunkt schmiegt sich die Kurve näher an die Kontrollpunkte an. P3 als dreifachen Kontrollpunkt: Werden zwei Kontrollpunkte hinzugefügt, entsteht bei einer kubischen B-Spline eine Ecke. Allgemein gilt: Ein Eckpunkt entsteht, wenn die Anzahl der übereinanderliegenden Kontrollpunkte dem Grad der Kurve entspricht.

Werden nichtuniforme Knotenwerte benutzt, sind die Basisfunktionen für jedes parametrische Intervall nicht mehr die selben. Die Anzahl von Knoten kann beliebig eingestellt werden und es können ungleiche Intervalle vorhanden sein. Der entscheidende Vorteil ist die erhöhte Flexibilität. Durch unterschiedlich große Intervalle entstehen verschiedene Gewichtsfunktionen in den jeweiligen Intervallen. Eine Mehrfachbestimmung eines Knotens führt zu feinen Veränderungen der Kurvenform.

Die Abbildung zeigt eine nichtuniforme B-Spline mit drei Kurvenabschnitten und die verwendeten Basisfunktionen. Am Anfangspunkt und am Endpunkt werden Mehrfachknotenwerte (Multiple End Knots) verwendet. Die Darstellung der Basisfunktion zeigt, dass die Basisfunktionen im Gegensatz zu den einer uniformen Kurve in den parametrischen Intervallen variieren. Die Kurve benutzt am Anfang und am Ende einen sogenannten Knotenvektor. Der verwendete Knotenvektor lautet: [0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]

Die Abbildung zeigt zwei in Maya gezeichnete Nurbs-Kurven: (a) eine nichtuniforme B-Spline mit Knotenvektor [0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4] (a) eine nichtuniforme B-Spline mit Knotenvektor [0,0,0,0,1,2,3,3,3,4,4,4,4]

Die wichtigsten Eigenschaften der B-Splines:

• B-Splines besitzen n Kontrollpunkte. Eine Kurve wird mit n+1 Gewichtfunktionen beschrieben.
• Die Anzahl der Teilintervalle ist beliebig.
• B-Splines können Polynome mit beliebigen Graden verwenden.
• B-Splines besitzen Modellier-Eigenschaft mit lokaler Kontrolle: Jede Gewichtsfunktion ist über Teilintervalle definiert; daraus resultiert der lokale Einfluss.
• Teilintervalle werden durch Knotenvektoren bestimmt.
• Die Anzahl der Kontrollpunkte kann verändert werden ohne den Grad der Polynome zu verändern.
• Das Einfügen von Knoten und Kontrollpunkten ist eng miteinander verbunden.
• es werden uniforme und nichtuniforme B-Splines unterschieden: