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Alle Kapitel anzeigenUnterschied zwischen Sinus und Cosinus
Gegeben: sin(x)
Anmerkung: Die Einheiten sind PI/2 und 1 (das betrifft alle Grafiken in diesem Dokument).
Gegeben: sin(x), cos(x)
Man sieht, dass die Funktionen grundsätzlich gleich sind, allerdings um 90° verschoben (man spricht hier auch von einer Phasenverschiebung).
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) + 1
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) + 3
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) + x
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) + cos(x)
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) + sin(x)
Obige Grafik zeigt also sin(x) + sin(x) was logisch betrachtet eine Multiplikation, also 2*sin(x) ist.
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = 3*sin(x)
Gegeben: sin(x), 3*sin(x)
Ergebnis: f(x) = 7*sin(x)
Vergleicht man die obigen Grafiken, erkennt man, dass sich lediglich die maximale Höhe der Funktion ändert, also die Amplitude. Im Folgenden wird der allgemeine Fall betrachtet, 2 Funktionen miteinander zu multiplizieren. Dies geschieht im Grunde genau gleich wie die Addition von Funktionen.
Gegeben: sin(x), f(x) = 2
Ergebnis: g(x) = sin(x) * f(x)
Gegeben: sin(x), f(x) = x
Ergebnis: g(x) = sin(x) * f(x)
Gegeben: sin(x), cos(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) * cos(x)
Im vorigen Abschnitt wurden Multiplikation der Form a * sin(x) betrachtet. Hier sollen Multiplikationen der Form sin(a*x) betrachtet werden.
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(2*x)
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(0.5*x)
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(4*x)
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(12*x)
Vergleicht man die obigen Grafiken, erkennt man, dass die Amplitude gleich bleibt, die Funktionen lediglich gestreckt oder gedehnt werden (man spricht hier von Frequenzmodulation).
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) + sin(4*x)
Gegeben: sin(x)
Ergebnis: f(x) = 4*sin(12*x)
Gegeben: sin(x), sin(2*x)
Ergebnis: f(x) = sin(x) * sin(2*x)
Gegeben: sin(x), sin(2*x)
Ergebnis: f(x) = ( 2*sin(x) ) * ( 3*sin(2*x) )
Fourier hat herausgefunden, dass sich sämtliche periodische Funktionen f(x) durch eine Summe von Sinus und Cosinus Funktionen annähern lassen (in Wirklichkeit müssen mehrere Kriterien erfüllt werden, doch das ist für dieses Beispiel irrelevant). Die Formel für diese Annäherung sieht folgendermaßen aus:
Dabei sind 
und a0 ein konstanter Anfangswert.
Die Koeffizienten an und bn können folgendermaßen berechnet werden:
Beispiel Rechtecksfunktion
Im Folgenden wird die Fourier-Reihe anhand einer Rechtecksfunktion betrachtet (siehe Grafik).
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx )
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx + 1/3 * sin(3x) )
Sieht man sich die Formel an, bemerkt man, dass die Funktion f(x) hier sehr stark vereinfacht werden konnte (verglichen mit der allgemeinen Formel). Die Koeffizienten für die Cosinus-Schwingungen betragen 0, deswegen werden sie auch nicht mehr aufgelistet. Die 0 ergibt sich, wenn man in die Formel an einsetzt. Für die Koeffizienten der Sinus-Schwingungen wurde in die Formel bn eingesetzt. Die Abweichungen von der allgemeinen Formel resultieren aus den bereits angesprochenen Vereinfachungen.
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx + 1/3 * sin(3x) + 1/5 * sin(5x) )
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx + 1/3 * sin(3x) + 1/5 * sin(5x) + 1/7 * sin(7x) )
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx + 1/3 * sin(3x) + 1/5 * sin(5x) + ... + 1/12 * sin(12x) )
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx + 1/3 * sin(3x) + 1/5 * sin(5x) + ... + 1/25 * sin(25x) )
Gegeben: Rechtecksfunktion f(x)
Ergebnis: f(x) = 4*3/PI * ( sinx + 1/3 * sin(3x) + 1/5 * sin(5x) + ... + 1/100 * sin(100x) )
